Problemas y ejercicios de areas y perimetros en el circulo

Resuelve los siguientes problemas:

1Indica el área de un círculo de 10 cm de diámetro, redondeando a dos cifras decimales.

cm²

¿Cuál sería la longitud de la circunferencia correspondiente? Redondea también a dos cifras decimales.

cm

Como el diámetro es 10 cm el radio es igual a 5 cm

El área del círculo es 78.54 cm² y la longitud de la circunferencia es 31.42 cm

2En una imprenta hacen pegatinas para discos de música de forma que se cubra la parte superior del CD. Sabiendo que el radio mayor mide 5.8 cm y el menor 0.7 cm aproximadamante, ¿qué área de papel utilizan para cada CD?

cm²

El área de cada pegatina es 104.14 cm².

3Calcula el área de un sector circular de angulo 45º sabiendo que la longitud de la circunferencia a la que pertenece mide 6Π.

cm²

4Para una fiesta de cumpleaños un grupo de 12 amigos compran una tarta de 28 cm de diámetro. Si dividimos el pastel en 12 porciones iguales, ¿qué área de tarta se come cada uno?

cm²

Como el diámetro mide 28 cm el radio mide 14 cm.

Dividimos la tarta en 12 porciones iguales, por tanto:

Cada trozo tiene como área 102.62 cm².

5Sobre un círculo de 25Π cm² de área trazamos un ángulo central de 90º. Calcula el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente

cm²

Calculamos el área del segmento circular:

6Calcular el área de la zona coloreada de las siguientes figuras siendo la altura del rectángulo la mitad que la base.Redondea a dos cifras decimales.

cm²

cm²

La primera figura es un hexágono con una circunferencia circunscrita, por tanto el área pedida será el área del hexágono menos el área de la circunferencia.

Calculamos la apotema que es el radio de la circunferencia y además la necesitamos para el área del hexágono.

La segunda figura es un rectángulo con dos circunferencias inscritas, por tanto el área pedida será el área del rectángulo menos el área de las circunferencias.

La altura del rectángulo es el diámetro de la circunferencia, su valor es 9 cm, por tanto el radio mide 3 cm

7El radio mayor de un roscón de reyes es de 20 cm mientras que el radio menor mide 7 cm. Si cortamos un trozo con un ángulo de 25º, ¿qué área del roscón hemos cortado?.

cm²

El área cortada es de 61.26 cm².

8Calcular el área de la zona coloreada redondeando a dos cifras decimales

cm²

El área de la zona coloreada es el área del cuadrado menos el área del sector circular, cuyo ángulo es de 90^º.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

Puntuación:

Teoremas de media proporcioal

Junto con los conceptos de protencia , la geometría del triángulo rectángulo permite resolver la obtención de medias proporcionales

 

Media proporcional

Dada la relación matemática x/a=b/x llamamos media proporcional al valor de x, es decir

x= raíz cuadrada de a*b

Podemos obtener un triángulo rectángulo utilizando como hipotenusa un diámetro de una circunferencia, y como vértice opuesto un punto de la misma, ya que determina un arco capaz de 90 ° sobre dicho diámetro.

Si obtenemos la altura h del triángulo desde el ángulo recto (vértice A) y determinamos su intersección H con la hipotenusa (pie de la altura) podemos determinar tres triángulos rectángulo semejantes:

• ABC
• HAC
• HBA

Teoremas de la altura y del cateto

Aplicando Thales a estos tres triángulos podemos obtener las siguientes relaciones:

Teorema del cateto

El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

l*l=m*n

Teorema de la altura

La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

l*l=m*n

Ejercicios de ángulos dentro y fuera de la circunferencia

Elige la opción correcta:

1Dos cuadrantes consecutivos forman un ángulo central de...

45°.

90°.

180°.

2La medida del arco que se define al trazar el ángulo anterior es de...

180°.

360°.

90°.

3Un ángulo inscrito que abarca un arco de 30°...

30°.

60°.

15°.

4Un ángulo inscrito de 20º define un arco de...

40º.

20º.

10º.

5Los lados y las prolongaciones de un ángulo interior forman un arco de 130° y otro de 60°, entonces dicho ángulo mide...

95°.

30°.

190°.

6La diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan los lados de un ángulo sobre la circunferencia es de 70°, entonces la medida del ángulo es...

140°.

35°.

No podemos resolver el problema.

7Uno de los arcos que abarcan los lados de un ángulo exterior sobre la circunferencia es de 70°, entonces la medida del ángulo es...

35°.

70°.

No podemos resolver el problema.

8El arco menor que define un ángulo exterior sobre la circunferencia es de 50° y la medida de dicho ángulo es de 30°, entonces la medida del otro arco que describe dicho ángulo es de...

15°.

40°.

110°.

Si llamamos x al valor del arco que buscamos, por ser un ángulo exterior tendremos:

Para que la segunda parte de la igualdad sea igual a 30 se tendrá que verificar que la expresión entre paréntesis sea igual a 60. Así, probando podemos obtener que x = 110

9Si un ángulo semiinscrito mide 82°, el arco que forma mide...

41°.

82°.

164°.

10Un ángulo interior mide 60° y uno de los arcos que determina es de 40°, entonces el otro arco mide...

100°.

80°.

Necesitaríamos saber si el arco dado es el mayor o el menor.

Si llamamos x al valor del arco que buscamos, por ser un ángulo interior tendremos:

Para que la segunda parte de la igualdad sea igual a 60 se tendrá que verificar que la expresión entre paréntesis sea igual a 120. Así, probando podemos obtener que x = 80

Resuelve las siguientes cuestiones:

11Si dividimos una circunferencia en 5 arcos iguales, ¿cuánto mide cada uno de esos arcos?

^°

¿Y cada una de los ángulos centrales correspondientes a dichos arcos?

^°

Como la circunferencia completa son 360º, si dividimos la circunferencia en 5 arcos iguales cada uno de ellos medirá

Los ángulos centrales correspondientes a dichos arcos miden lo mismo que los arcos, es decir 72º.

12Si dividimos la circunferencia en partes iguales y el ángulo central de cada una de las partes es de 36º, ¿en cuántas partes se ha dividido la circunferencia?

º

Sabemos que la circunferencia completa son 360^º, por tanto dividiendo 360^º entre 36^º obtenemos las partes en las que se ha dividido la circunferencia,

13Indica las medidas de los ángulos que faltan.

º

º

En la segunda circunferencia queremos calcular cada uno de los ángulos iguales en los que está dividida la circunferencia, por tanto como son 8 partes iguales:

14Calcular el valor del ángulo que falta en cada una de las circunferencias siguientes

º

º

Circunferencia naranja

El ángulo es el suplementario de , por tanto mide 150^º.

El triángulo CAO es isósceles ya que tiene dos lados iguales (los radios). Por tanto los otros dos ángulos son iguales y miden 15^º

Circunferencia roja

El ángulo mide 35^º, como el triángulo ACO es isósceles, ya que dos de sus lados son los radios (por tanto iguales). Como los lados de un triángulo deben sumar 180^º los ángulos del triángulo miden 35^º, 35^º y 110^º

El ángulo mide 70^º porque es el suplementario de

En ambos casos el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito

15Calcula los ángulos inscritos de las siguientes figuras

º

º

Como el ángulo es inscrito medirá:

= 80^º : 2 = 40^º

El ángulo como es inscrito mide la mitad del arco que abarca. Puede verse en la figura que el arco abarcado mide 50^º, por tanto

= 50^º : 2 = 25^º

16La circunferencia de la figura se ha dividido en 6 partes iguales, calcula la medida del ángulo interior

º

En la siguiente circunferencia se muestran las medidas de los arcos interiores de un ángulo interior y su opuesto. Calcula la medida del ángulo

º

Como la circunferencia está dividida en 6 partes iguales, cada parte mide 360^º : 6 = 60^º. Si unimos D con B obtenemos el triángulo BAD del cual conocemos los siguientes ángulos:

= 30^º ya que es un ángulo inscrito y su arco es una división

= 60^º ya que es un ángulo inscrito y su arco son dos divisiones

Entonces: = 180^º − (30^º + 60^º) = 90^º

Como y son suplementarios = 90^º

Sabemos que es un ángulo inscrito cuyo arco vale 20^º, por tanto mide 10^º

= 75^º por ser un ángulo inscrito cuyo arco vale 150^º

= 180^º − 10^º − 75^º = 95^º

Como y son suplementarios = 85^º

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

Puntuación: